Penyederhanaan Logika Dengan Operator dasar And Or dan Not serta Implikasi dan biimplikasi

1. Pendahuluan
Bab ini membahaspenggunaan hukum-hukum logika pada operasi logika yang dinamakan
penyederhaan (simplifying). Berbagai macam ekuivalensi dari berbagai ekpresi logika
memberi kemudahan bagi penyederhanaan karena bentuk ekspresi logika yang rumit dapat
disederhanakan.

2. Operasi penyederhanaan
Operasi penyederhanaan akan menggunakan tabel berikut yang berisi berbagai ekuivalensi
logis dan hukum-hukum logika proposisional:

Dalam tautologi, nilai kebenaran dapat diganti sebagai berikut:
True (T) ≡ 1
False (F) ≡ 0
Sekarang dapat dicoba pada tabel kebenaran berikut:

Dengan melihat nilai pada tabel kebenaran dapat disimpulkan bahwa:
A˄1 ≡ A
A˄0 ≡ 0
Dengan tabel kebenaran juga dapat dibuktikan bahwa:
A˅1 ≡ 1
A˅0 ≡ A

Untuk membuat penyederhanaan, pertama kali yang harus dihilangkan adalah perangkai
implikasi (→) dan perangkai ekuivalen (↔), dan dijadikan kombinasi dari perangkai
konjungsi (˄), dijungsi (˅), dan negasi (¬).
Lihat kesamaan logisnya seperti berikut:
A→B ≡ ¬A˄B
A↔B ≡ (¬A˅B)˄(¬B˅A)
≡ (A˄B)˅(¬A˄¬B)
Jika hasil penyederhaan bernilai1, maka tergolong tautologi. Jika 0 maka tergolong
kontradiksi, sedangkan jika hasilnya tidak 1 ataupun 0, maka tergolong contingent. Hasil
penyederhanaan sudah tidak memungkinkan proses manipulasi dilanjutkan.

Contoh:
1. (A˅0) ˄ (A˅¬A) ≡ A ˄ (A˅¬A) hk. Identitas
≡ A ˄ 1 hk. Negasi
≡ A hk. Identitas
2. (A˄¬B) ˅ (A˄B˄C) ≡ (A˄¬B) ˅ (A˄(B˄C)) tambah kurung
≡ (A ˄ (¬B˅(B˄C)) hk. Distributif
≡ (A ˄ (¬B˅B)˄(¬B˅C)) hk. Distributif
≡ (A ˄ (1˄(¬B˅C)) hk. Negasi
≡ (A ˄ (¬B˅C)) hk. Identitas
3. (A˅B)˄¬A˄¬B ≡ ¬A˄(A˅B)˄¬B hk. Komutatif
≡ (¬A˄(A˅B))˄¬B tambah kurung
≡ ¬A˄(B˄¬B) hk. Asosiatif
≡ ¬A˄0 hk. Negasi
≡ 0 hk. Ikatan

3. Menghilangkan perangkai → dan ↔
Perangkai dasar yang sebenarnya hanya ¬, ˄, dan ˅. Jadi, semua perangkai dapat dijelaskan
hanya dengan tiga perangkai dasar atau alamiah tersebut. Dengan demikan perangkai
implikasi dan ekuivalen dapat diganti dengan perangkai dasar.
Perangkai implikasi dan ekuvalen dapat digunakan hukum logika pada tabel diatas:
1. A→B ≡ ¬A˄B
2. A↔B ≡ (A˄B)˅(¬A˄¬B)
3. A↔B ≡ (A→B)˄(B→A)
Contoh:
1. Hilangkan tanda → dari ekuivalensi logis pada no 3 di atas:
A↔B ≡ (A→B)˄(B→A)
≡ (¬A˅B)˄(¬B˅A) A→B ≡ ¬A˄B
≡ (¬A˅B)˄A˅¬B) hk. Komutatif
2. Hilangkan tanda → dan ↔ dari ekspresi logika berikut:
(A→B)˄C)˅((C↔D)˄(B˅D))
≡ ((¬A˅B)˄C)˅((C↔D)˄(B˅D)) A→B ≡ ¬A˄B
≡ ((¬A˅B)˄C)˅(((C→D)˄(D→C))˄(B˅D)) A↔B
≡ ((¬A˅B)˄C)˅(((¬C˅D)˄(¬D˅C))˄(B˅D)) A→B ≡ ¬A˄B
≡ ((¬A˅B)˄C)˅((¬C˅D)˄(¬D˅C)˄(B˅D)) hapus kurung
Latihan soal:
Hilangkan tanda → dan ↔ dari ekspresi logika berikut ini dan sederhanakan jika mungkin:
1. ¬A→¬B
2. (A→B)˄(B→C)

Latihan soal:
Sederhanakan bentuk –bentuk logika berikut ini menjadi bentuk paling sederhana dan
buktikan:
1. ¬A → ¬(A→ ¬B) ≡ A
2. A˅(A˄B) ≡ A
3. A˄(A˅B) ≡ A
4. (A→B)˄(B→A) ≡ (A˄B)˅(¬A˄¬B)
5. ((A˄(B→C))˄(A→(B→¬C)))→A ≡ 1
6. ((A˅B)˄¬A)→¬B ≡ A˅¬B
7. (¬A→¬B)→((A→B)→¬A) ≡ ¬A˅¬B
Latihan soal:
Buktikan dua ekspresi logika berikut ekuivalen dengan penyederhanaan:
1. (A˄B)˅(B˄C) ≡ B˄(A˅C)
2. ¬(¬(A˄B) ˅A) ≡ 1
3. ¬(¬A˅¬(C˅D)) ≡ (A˄C) ˅(A˄D)
4. A˄(¬A˅B) ≡ A˄B
5. ¬(¬A˄¬B) ≡ A˅B

SELAMAT BELAJAR